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BATALLA DE CARABOBO. HISTORIA Y CURIOSIDADES

 

Batalla de Carabobo | Historia y Curiosidades | Resumen

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Curiosidades de la Batalla de Carabobo. Historia Resumen de la Batalla de Carabobo 1821. Segunda Batalla ¿Qué Día de la Semana Fue y Cuánto Tiempo Duró la Batalla de Carabobo? ¿Participaron Mujeres? ¿Quienes Murieron en Combate?

Batalla de Carabobo | Resumen y Curiosidades

Batalla de Carabobo | Resumen

Fecha: 24 de junio de 1821.
Lugar: Sabana de Carabobo, actual Estado Carabobo, Venezuela.
Beligerantes: Gran Colombia (Patriotas) y Realistas (España).

Comandantes

Ejército Libertador
Comandante en Jefe Simón Bolívar, Primera División José Antonio Páez, Segunda División Manuel Cedeño y Tercera División Ambrosio Plaza.
Ejército Realista
Comandante en Jefe Miguel de la Torre, División de Vanguardia Francisco Tomás Morales, Primera División Tomás García y Quinta División José Herrera.

Fuerzas en Combate: Ejército Libertador (7000 infantes y 3000 jinetes) y Ejército Realista (2600 infantes, 1600 jinetes, 2 cañones y 62 artilleros).
Bajas: Ejército Libertador 200 muertos y Ejército Realista 2908 muertos
Resultado: Victoria decisiva de la Gran Colombia.
Consecuencias: Las fuerzas realistas quedan atrincheradas en Cumaná y Puerto Cabello.
Dato: Esta batalla fue decisiva en la liberación de Caracas el 29 de junio de 1821, así como del resto del territorio venezolano tras la expulsión definitiva de las tropas españolas en la operación militar conocida como el Quinto Asedio de Puerto Cabello.

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Curiosidades de la Batalla de Carabobo

Es conocida también como la Segunda Batalla de Carabobo y una de las más importantes para lograr la Independencia de Venezuela. Fue la última batalla en la que participó Simón Bolívar en Venezuela.

La Batalla de Carabobo de 1821 no fue la primera en Carabobo, ya que el 28 de mayo de 1814, las fuerzas de la Segunda República al mando de Simón Bolívar, derrotaron a las fuerzas españolas al mando del mariscal de campo Juan Manuel de Cajigal y Martínez, en la Primera Batalla de Carabobo.

La Batalla de Carabobo de 1821 no fue la última para lograr la independencia total, el último enfrentamiento militar fue el Quinto Asedio de Puerto Cabello entre el 23 de septiembre al 10 de noviembre de 1823, donde se logra la caída del último baluarte español en Venezuela. Otros historiadores afirman que el Combate Naval del Lago de Maracaibo ocurrido el 24 de julio de 1823, fue el último combate para lograr la independencia de Venezuela.

En la batalla no solo participaron soldados, también hombres del pueblo, españoles, franceses, holandeses, neogranadinos y caribeños que apoyaban a Bolívar, se dice que unas 14 mujeres lucharon con el ejército patriota. La mayoría de los soldados del ejército español eran venezolanos.

En la batalla se utilizó por primera vez el uniforme militar para el combate. Según historiadores, un modisto de Caracas transformó el uniforme militar utilizado en la batalla en el tradicional Liqui Liqui.

El general José Antonio Páez, llevaba con su ejército 2 mil caballos y 3 mil reses para la comida.

La batalla se realizó un día domingo, empezó a las 11 de la mañana y fue un combate duro, cuerpo a cuerpo, prácticamente no hubo artillería, la mayoría de los cadáveres fueron enterrados en el mismo campo de Carabobo. Según los reportes de los generales españoles, la batalla duró unas 3 horas, en cambio, el Libertador Simón Bolívar indica que duró unos 45 minutos.

La actuación del general José Antonio Páez al mando de los batallones Bravos de Apure y los Cazadores Británicos, fue decisiva para lograr el triunfo. En reconocimiento, el Libertador Simón Bolívar asciende inmediatamente y en el mismo campo de batalla, a José Antonio Páez como General en Jefe.

El perro Nevado o Simoncito, murió en la batalla atravesado por una lanza, además, muere el Indio Tinjacá, al que los demás oficiales del Libertador apodaban el Edecán del Perro. También murió el general de división Manuel Cedeño, el coronel Ambrosio Plaza, el teniente Pedro Camejo conocido como el Negro Primero, entre otros patriotas.

Hay infinidades de pinturas que reflejan la Batalla de Carabobo, donde destaca la pintura sobre lienzo de 490 metros cuadrados en el Salón Elíptico del Palacio Federal Legislativo o Capitolio Federal, fue realizado por el pintor Martín Tovar y Tovar, entre los años 1885 y 1887, e instalado 1888.

Batalla de Carabobo
Pintor: Martín Tovar y Tovar.

El 24 de junio de 1921 es inaugurado por el general Juan Vicente Gómez, el Arco de Triunfo de Carabobo o Arco de Carabobo para conmemorar el Centenario de la Victoria en la Segunda Batalla de Carabobo.

Inauguración del Arco de Triunfo de Carabobo

Primera Batalla de la Independencia de Venezuela
Última Batalla de la Independencia de Venezuela

SUELDO MINIMO EN VENEZUELA

Sueldo Mínimo en Venezuela [ACTUALIZADO]

Sueldo Mínimo en Venezuela. Último Aumento del Salario Mínimo en Venezuela. Dolarización del Salario en Venezuela. Nuevo Aumento de Sueldo Integral Básico Mensual para Trabajadores, Pensionados, Jubilados, Sector Público y Privado. Pago Pensión Seguro Social. Bono Pensionados del Seguro Social. Histórico Aumentos Salariales. Prestaciones Sociales.

Sueldo Mínimo en Venezuela 2021

1 Mayo 2021

Sueldo Mínimo Básico (Gaceta Oficial Extraordinaria Nro. 6622, Decreto Nro. 4602)	Bs. 7.000.000
Cestaticket (Gaceta Oficial Extraordinaria Nro. 6622, Decreto Nro. 4603)	Bs. 3.000.000
Total Sueldo Mínimo Integral	Bs. 10.000.000

Sueldo Mínimo Aprendices (75% del Sueldo Mínimo Básico)	Bs. 5.250.000

Pensionados (Artículo 80 CRBV)	Bs. 7.000.000

Bono Pensionados (Bono Especial a través de la Plataforma Patria)	Monto Variable

Vigencia del Sueldo Mínimo en Venezuela

En uno de los puntos del artículo 129 de la LOTTT, se indica que Previo estudio y mediante Decreto, el Ejecutivo Nacional fijará cada año el salario mínimo, y para que este Decreto de Aumento Salarial entre en vigencia, como cualquier ley, debe ser publicado en la Gaceta Oficial, según lo establecido en el artículo 1 del Código Civil de Venezuela.

Cálculo Salario Integral	Cálculo del Cestaticket

Deducciones Salariales	Prestaciones Sociales

Histórico del Salario Mínimo en Venezuela

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Sueldo Mínimo en Dólares al Final del Periodo Presidencial

Presidente	Año	Sueldo Básico	Tasa	Sueldo en Dólares
Carlos Andrés Pérez	1979	Bs. 900,00	Bs. 4,30	US$. 209,30
Luis Herrera Campíns	1984	Bs. 900,00	Bs. 14,00	US$. 64,29
Jaime Lusinchi	1989	Bs. 2.010,00	Bs. 37,30	US$. 53,89
Carlos Andrés Pérez	1993	Bs. 9.000,00	Bs. 87,60	US$. 102,74
Ramón José Velásquez	1994	Bs. 9.000,00	Bs. 108,80	US$. 82,72
Rafael Caldera	1999	Bs. 100.000,00	Bs. 573,90	US$. 174,25

Reconversión Monetaria 2008

Presidente	Año	Sueldo Básico	Tasa	Sueldo en Dólares
Hugo Chávez	2013	Bs. 2.047,52	Bs. 22,66	US$. 90,36

Sueldo Mínimo en Dólares Periodo Presidencial Actual

Reconversión Monetaria 2018

Presidente	Año	Sueldo Básico	Tasa	Sueldo en Dólares
Nicolás Maduro	2021	Bs. 7.000.000	Bs. 2.822.874,48	US$. 2,48

Nota: Tasa de cambio oficial BCV al momento del aumento salarial del 1 de mayo del 2021.

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Historia del Salario Mínimo en Venezuela

Sueldo Mínimo fijado de manera Indirecta por el Ejecutivo Nacional

El 21 de noviembre de 1958, la Junta de Gobierno de la República de Venezuela, publica en la Gaceta Oficial Nro. 25818, el Decreto Nro. 440, donde se dicta la Ley sobre Contratos Colectivos por Ramas de Industrias, en su artículo 21 se establece que; El contrato colectivo en la convención obrero-patronal o el laudo arbitral podrá ser declarado por el Ejecutivo Nacional de extensión obligatoria para las demás empresas y trabajadores de la misma rama industrial.

Sueldo Mínimo fijado por el Ejecutivo Nacional

El 4 de junio de 1974, el presidente Carlos Andrés Pérez, publica en la Gaceta Oficial Nro. 30415 el Decreto Ley Nro. 122, donde fija por primera vez en la historia el salario mínimo nacional de modo directo por el Ejecutivo Nacional. En el artículo 1, se fija el salario mínimo nacional en 15 bolívares por jornada diaria de trabajo. Son 450 bolívares mensuales, a la tasa de cambio de Bs. 4,30 por dólar, serían 104,65 dólares como el primer salario mínimo en Venezuela.

Historia del Cestaticket

El 14 de septiembre de 1998, el presidente Rafael Caldera, publica en la Gaceta Oficial Nro. 36538 la primera Ley Programa de Alimentación para los Trabajadores, conocido como Cestaticket.

La primera Ley del Cestaticket era obligatorio para el sector público y privado que tuvieran a su cargo más de cincuenta trabajadores y eran beneficiarios todos los trabajadores que devengaran hasta dos salarios mínimos mensuales, se pagaba como mínimo diario 0,25 U.T. y máximo diario 0,50 U.T. Entró en vigencia el 1 de enero de 1999 para el sector privado y paulatinamente de acuerdo a disponibilidad presupuestaria para el sector público.

En la actualidad, el monto del Cestaticket Socialista es ajustado directamente por el Ejecutivo Nacional, al igual que el salario mínimo.

Pago Pensionados

El pago de las pensiones y jubilaciones está garantizado en el artículo 80 de la Constitución de la República Bolivariana de Venezuela, en dicho artículo se indica que las pensiones y jubilaciones otorgadas mediante el sistema de seguridad social NO podrán ser inferiores al salario mínimo urbano.

Dato Económico: El sector privado por lo general paga salarios más altos que el sector público. En la actualidad, el sueldo básico mensual en el sector privado está entre los 10 y 25 salarios mínimos oficiales, además, ofrecen compensaciones en dólares, ayuda para el transporte, pago extra en el bono de alimentación, seguro privado, bonos por asistencia y producción, entre otros beneficios.

El salario mínimo privado siempre va a depender del desempeño interno de cada empresa y de su capacidad para obtener un margen de ganancias que les permita mejorar los salarios de sus trabajadores.

CONTENIDO PEDAGOGICO DE MATEMATICAS PARA 2DO AÑO

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

LICEO BOLIVARIANO “EFRAÍN COLMENÁREZ GIMÉNEZ”

DUACA ESTADO LARA

 

 

 

 

 

 

 

 

MATEMÁTICAS

2do AÑO

 

 

 

 

PROF. MARYORIS GUTIÉRREZ

MARZO, 2021

Contenido # 1

Una expresión algebraica

Contiene letras, números y signos. La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números. Las expresiones algebraicas pueden tener una o dos letras. Un ejemplo de expresión algebraica con una única letra es:

3x² + 4x – 2 − x² + 7x

Ante cualquier expresión, lo primero que debe hacerse es simplificarla, utilizando las propiedades de las expresiones, que son equivalentes a las propiedades de los números. En el caso del ejemplo, deben agruparse los términos con las mismas letras. Por un lado, debemos sumar 3x² y −x² y, por el otro, se tienen que sumar 4x y 7x obteniendo:

3x² – x ²= 2x²                               y                         4x + 7x = 11x

Así pues, la expresión de segundo grado 3x² + 4x – 2 – x² + 7x una vez simplificada es igual a 2x² + 11x − 2.

El valor numérico de una expresión algebraica se halla sustituyendo la letra por un número de terminado. Por ejemplo, el valor numérico de 2x² + 11x − 2 cuando x = 3 es igual a 2 ⋅ 3² + 11 ⋅ 3 −2 = 18 + 33 – 2 = 49.

 

 

Un monomio es una expresión algebraica conformada por un coeficiente, una variable (generalmente x) y un exponente, por ejemplo:  y sus partes son:

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de un número finito de monomios.

P(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n – 2} + ... + a₂x²+a₁x + a₀

Donde, n es un número natural y al descomponerlo obtenemos que:

ü  Coeficientes: a_n, a_n - 1, ... , a₁, a₀

ü  Variable o indeterminada: x

ü  Coeficiente principal: a_n

ü  Término independiente: a₀

 

Ejemplo: en el polinomio P(x) = 2x³ + 3x² + 5x – 3 al descomponerlo obtenemos que:

ü  Coeficientes: 2, 3, 5, -3

ü  Variable o indeterminada: x

ü  Coeficiente principal: 2

ü  Término independiente: -3

Grado de un Polinomio: El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Por ejemplo, el grado de 2x² + 11x −2 es 2.Según su grado los polinomios pueden ser de:

Todo polinomio puede tener una o más variables y dependiendo cuantos términos presenten pueden ser:

• Monomio al tener un término,
• Binomio al tener dos términos,
• Trinomio cuando tiene tres términos y así sucesivamente.

Veamos el siguiente recuadro:

Ejemplos de Polinomios:

a)    P(x) = 7x² + 2x + 7

b)    Q(y) = 3x – 9

c)    R(x) = x³ + 4x² + π

d)    M(x) = x – 2x³ + 8x⁵ + 4x² + √3

e)    T(x,y) = 4x³y + 3x²y² + 8

Las notaciones: P(x), Q(x), R(x) y M(x) representan el polinomio de variable «x». En el caso T(x,y) representa a un polinomio de variable «x» e «y».

Suma o adición de Polinomios

Consiste en tener dos o más polinomios e identificar sus términos semejantes para luego agruparlos, sumarlos y conseguir un sólo polinomio. La adición de polinomios se realiza sumando sólo términos semejantes, por lo que es necesario reconocer dichos términos. La suma de polinomios se puede realizar de forma horizontal o vertical (la forma tradicional). Veamos un par de ejemplos:

Ejemplo: Calcular la suma de Polinomios: P(x)= 5x³ + 7x² – 2x más Q(x)= 3x³ – 3x² + x

Resolución: Notamos que los 2 polinomios están ordenados, entonces agrupamos los términos semejantes, así:

Nota en este ejemplo que al sumar los polinomios P(x) + Q(x), se ha realizado por la forma horizontal.

Ejemplo: Efectuar la siguiente suma de polinomios: (5x⁵ – y² + z) + (-2x⁵ – 8y² + 2z)

Resolución: Esta suma de expresiones algebraicas lo realizaremos verticalmente, es una idea práctica de hacer sumar términos semejantes en columnas.

Para obtener: 3x⁵ – 9y² - z

Observa que en los dos ejemplos presentados se pueden sumar cantidades positivas y negativas, esto ocurre en álgebra (no en aritmética) a este proceso se denomina «suma o adición algebraica».

Resta o sustracción de Polinomios

La gran diferencia que existe con la suma, es que al polinomio negativo se le cambiarán previamente, los signos de todos sus términos. Luego de esto, se procederá como en la suma. Veamos un ejercicio.

Sean los Polinomios: P(x) = 2x³ – 5x² + 10x – 7 y Q(x) = x³ – 7x² + 3x – 11 Calcular P(x) – Q(x)

Resolución: Veamos cómo se desarrolla esta diferencia de Polinomios:

Ten en Cuenta: Q(x) es polinomio, observar el signo negativo a su izquierda «–». Este signo cambia todos los signos internos del polinomio Q(x) ya que el signo multiplica a todos los signos internos. Cambiando de signos a todos los términos de Q(x) tenemos: 2x³ – 5x² + 10x -7 – x³ + 7x² – 3x + 11

 

Seleccionamos términos semejantes y reducimos: ∴ P(x) – Q(x) = x³ + 2x² + 7x + 4 Sería la respuesta.

Multiplicación de Polinomios

Se efectúa multiplicando cada uno de los términos de un polinomio con todos los términos del otro polinomio, sumando después los productos obtenidos. Es conveniente ordenar los polinomios según las potencias crecientes (o decrecientes) de una de las variables. Veamos un ejemplo: Multiplicar los siguientes Polinomios:

P(x) = x – 3 y Q(x) = x³ + 2x

Resolución: Multiplicando los polinomios linealmente, tenemos:

Ordenando según las potencias tenemos por solución: ∴ x⁴ – 3x³ + 2x² – 6x

Cómo Multiplicar un Número por un Polinomio: Para multiplicar un número por un polinomio, se multiplica el número por cada uno de los términos del polinomio. Veamos un ejemplo paso a paso:

1. Se multiplica el número por el primer término del polinomio:

2. Se multiplica el número por el segundo término del polinomio:

3. Se multiplica el número por el tercer término del polinomio:

Si tuviéramos más términos, habría que seguir así sucesivamente.

Signo Menos Delante de un Polinomio entre Paréntesis: Un caso particular  de un número por un polinomio es el de un signo menos delante de un polinomio entre paréntesis.

Es equivalente a multiplicar por -1:

Como puedes observar, el signo menos cambia de signo los términos del polinomio original. Ésta es una buena forma de acordarse a la hora de eliminar paréntesis cuando estemos operando.

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.

 Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.

 Ejemplos de ejercicios con binomios al cuadrado

1)   (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x ² + 6 x + 9

2)  (2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9

3)  (−2x² + 3)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · 3 + 3² = 4x⁴ − 12x² + 9

4)   (−2x² − 3y)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · (−3y) + (−3y)² = 4x⁴ + 12x²y + 9y²

Producto de dos binomios que tienen un término común

Cuando se presenta le producto de dos binomios con término común, es más simple el desarrollo y queda de la siguiente manera:

Ejemplo de ejercicio con producto de dos binomios con término común

Desarrollar la expresión siguiente:

No es necesario recordar la fórmula, si, siguiendo los pasos de desarrollo y con atención a los signos, simplemente operamos paso a paso. Primero, tomamos los términos dentro del primer paréntesis y los multiplicamos con la segunda de esta manera:

Te recomiendo guardar los paréntesis y deshacerlos posteriormente. Así, nos aseguramos de no haber olvidado cambiar un + por un - o al revés. En este caso, no hay ningún cambio de signo.

Ejemplos de ejercicios resueltos de productos notables 

a)   (x + 5)² = resolvemos la potencia

= x² + 2 · x · 5 + 5² = al multiplicar obtenemos

= x ² + 10 x + 25

b)   (2x + 5)² = resolvemos la potencia

= (2x)² + 2 · 2x ·5 + 5² = al multiplicar obtenemos

= 4x² + 20 x + 25

c)   (2x − 5)² = resolvemos la potencia

= (2x)² - 2 · 2x ·5 + 5² = al multiplicar obtenemos

= 4x² − 20 x + 25

d)    resolvemos la potencia

    Al multiplicar obtenemos  

El producto de binomios conjugados

Es decir la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda. En otras palabras, se cumple la fórmula: (a+b) (a−b)=a²−b²(a+b) (a-b)=a²-b²(a+b) (a−b)=a²−b².

Ejemplos del conjugado de un binomio

1)        su conjugado es     se observa que el conjugado de es el mismo binomio pero con operación contraria.

2)       su conjugado es   

3)   (x + 5) su conjugado es (x- 5)

4)   (3 - x) su conjugado es (3 + x)

5)   (x - 6) su conjugado es (6 + x

Producto de binomios conjugados

El producto de la suma de dos términos por su diferencia, es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. La fórmula a utilizar en este tipo de producto notable es la siguiente:  Para resolver el producto de dos binomios conjugados debemos tener presente lo siguiente:

1. Deben ser binomios
2. Los binomios deben poseer: un término con signos iguales y otro término con signos diferentes, sin importar el orden en que se encuentren.
3. Multiplicamos los términos por propiedad distributiva (si se desea); ya que se puede hacer directo por la fórmula.
4. La solución será el cuadrado del término que tiene signos iguales, menos el cuadrado del término que posee signos diferentes.
5. De allí se efectúan las operaciones de multiplicación, potenciación y simplificación que estén presentes en la solución.

Al resolver un producto de binomios conjugados obtenemos como resultado una diferencia de cuadrados.

Ejercicios del producto de binomios conjugados

a)     se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias.

b)      se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias.

c)      se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias.

d)     se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias.

¿Qué es la factorización?

La factorización es una expresión algebraica que mediante factores o divisores permiten simplificar en términos más simples para su manipulación. En la expresión (a + ab) es posible factorizar ya que en cada término se tiene la letra “a”, por lo tanto, al factorizar se tiene que (a + ab) = a (1 + b), si se realiza la multiplicación de los factores a (1 + b) se obtiene como producto la primera expresión (a + ab).

Factorización de un monomio: Por inspección se puede encontrar los factores de 6abc que corresponden a 2, 3, a, b y c. Por lo tanto: 12abc = (2). (3)(a)(b)(c)

Como se puede observar el número 6 se descompuso en los términos obtenidos mediante el mcm.

Factorización de un polinomio: Muchas de las factorizaciones se pueden realizar por inspección, en otras palabras, observando los términos del polinomio y verificar si se tiene algún factor en común. Ejemplos:

A) 3x² + 3 = 3(x² + 1)
B) 2x² + 3x = x (2x + 3)
C) 9ba + 9b = 9b (a + 1)

Como se puede observar el propósito de la factorización consiste en encontrar un factor común en los términos dados. También el factorizar permite agrupar términos para obtener una expresión algebraica simplificada. Por ejemplo se quiere factorizar: x (a + 1) – a – 1

Primeramente se puede observar que agrupando – a – 1 se tendría un factor común al término x(a + 1), por lo tanto, al agrupar se tiene: x (a + 1) – (a + 1)

Observar que el término (a + 1) se puede representar como (1) (a + 1). Ahora es posible agrupar los términos (a + 1), obteniendo: (x – 1) (a + 1)

De esta manera se manipula la expresión para la solución de ecuaciones más simples.

Métodos de Factorización

Los métodos o casos  de factorización son técnicas que se utilizan para reducir el polinomio en factores primos.

·         Factor Común: El factor común está contenido en todos los términos de la expresión algebraica a factorizar, con el menor exponente. Este método consiste en buscar factores comunes que pueden ser monomios o polinomios de más de un término. Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo: Factorice el siguiente Polinomio: P(x) = x⁴ + x⁶

Resolución: De estos dos monomios el factor común será el de menor exponente, o sea: x⁴

Entonces: P(x) = x⁴(1 + x²)

⇒ El Polinomio dado tiene dos factores primos, uno lineal (x⁴ ) y otro cuadrático (1 + x²).

Ejemplo: Factorizar: M = 2x⁵y³ + 2x⁵z – 2x⁵

Resolución: Para este ejemplo el Factor Común será el monomio: 2x⁵, entonces la expresión factorizada será: M = 2x⁵ (y³ + z – 1)

⇒ Los factores primos son: x; (y³ + z – 1)

Ejemplo: Factorizar: N = (a + b³) + (a + b³) x + (a + b³) z 

Resolución: Identificamos el Factor Común, que es: (a + b³) de donde: N = (a + b³)(1 + x + z)

⇒ Los factores primos son: (a + b³); (1 + x + z)

·         Método de Agrupación de Término: Este método se aplica cuando no se tiene factor común en el polinomio dado, por lo que será conveniente la agrupación de términos. De forma, obtener factores comunes en la expresión. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo: Factorizar el polinomio: P = (ax + by)² + (ay – bx)²

Resolución: Desarrollando por productos notables. P = a²x² + 2abxy + b²y² + a²y² – 2abxy + b²x²

Simplificando: P = a²x² + b²y² + a²y² + b²x²

Agrupando el primero con el tercero término y el segundo con el cuarto término, tenemos:

⇒ P = (a²x² + a²y²) + (b²y² + b²x²)
⇒ P = a²(x² + y²) + b²(x² + y²)

∴ P = (a² + b²)(x² + y²)

·         Método de Identidades Notables: En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas de los productos notables; pero, en sentido inverso. Veamos:

1. x² ± 2xy + y²  = (x ± y)²

2. x² – y²  = (x + y)(x + y)

3. x³ – y³  = (x – y)(x² + xy + y²)

4. x³ + y³  = (x + y)(x² – xy + y²)

Ejemplo: Factorizar el siguiente Polinomio: T(x) = 9x² – 1

Resolución: Note en este polinomio que se trata de una diferencia de cuadrados. Vamos a darle la forma: T(x) = 9x² – 1

⇒ T(x) = (3x)² – 1²

Por lo tanto, el polinomio factorizado será: ∴ T(x) = (3x – 1) (3x + 1)

Ejemplo: Reducir el siguiente Polinomio: P(x) = x³ – 8

Resolución: En este ejemplo vemos una diferencia de cubos, damos la forma así:

P(x) = x³ – 8

P(x) = x³ – 2³

⇒ P(x) = (x – 2) (x² + 2x + 4)

Entonces, decimos que el polinomio P(x) al factorizarse tiene dos factores primos, uno lineal y otro cuadrático.

Ejemplo: Factorizar el polinomio e indicar el número de factores primos: P(x; y) = (x² –  y²) (x³ – y³)

Resolución: Descomponiendo los dos productos de factores, tenemos:

P(x; y) = (x + y)(x – y)(x – y)(x² + xy + y²)

⇒ P(x; y) = (x + y) (x – y)²(x² + xy + y²) Por lo tanto, el número de factores primos es 3.

¡Importante!

En el resultado de este ejemplo: P(x; y) = (x + y) (x – y)²(x² + xy + y²) 

Se tiene que tomar en cuenta  que (x – y)² tiene como factor primo a «x – y», el exponente 2 sólo indica repetición. Por ello, se considera que esta factorización tiene tres factores primos.

División algebraica de monomios y polinomios

En el caso de la división algebraica de monomios y polinomios es recomendable realizar un acomodo en forma de fracción. El procedimiento para obtener el cociente es el mismo. La o las letras se deben multiplicar por la misma letra del denominador con el exponente inverso para que únicamente queden las letras en el numerador, en otras palabras, pasar el denominador al numerador con el exponente de las letras invertido.

Para un mejor entendimiento se plantea dividir a⁶ ÷ a⁴, representado será:

Debemos recordar que cualquier número elevado a una potencia cero es igual a uno, por lo tanto, n⁰ = 1. Para la división de polinomio entre polinomio se debe considerar ordenar cada término del divisor y el dividendo con respecto a una letra, considerando el exponente de mayor a menor.

Ejemplo: Dividir 3x² + 11x + 6 entre x + 3. En este caso los términos se encuentran ordenados, por lo tanto, es posible efectuar la división. Se debe tomar de 2 términos el dividendo, ya que el divisor consta de 2 términos.

     El residuo es de "0" y el resultado es (3x + 2).

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al evaluarlo, esto es, al sustituir la variable X por un número dado, notemos que esto implica que el valor numérico depende del número por el cual sustituyamos nuestra variable.

Ejemplo: Calcula el valor numérico del polinomio

evaluando en los siguientes valores a     b    c

Como dice la definición, en el polinomio debemos sustituir , por lo tanto, al evaluar tenemos

    

 Debemos sustituir , en nuestro polinomio

    

 Por último, debemos sustituir  en nuestro polinomio

    

Así, obtuvimos tres valores numéricos de nuestro polinomio , tenemos que el valor numérico de  en  es , el valor numérico de  en  es  y, por último, el valor numérico de  en  es .

CONTENIDO # 2

¿Qué es la probabilidad?

Una de las características más especiales de los seres humanos, que nos diferencia del resto de animales, es nuestra capacidad de “predicción”, de anticiparnos a los acontecimientos que van a ocurrir. A veces fallamos, pero otras muchas no. Esta capacidad nos ha permitido llegar hasta donde estamos hoy, pudiendo predecir tanto peligros como oportunidades. Piénsalo, nuestros antepasado que eran capaces de predecir el ataque de un depredador fueron los que sobrevivieron. Ahora, decenas de miles de años después hemos dado un paso más y nos preguntamos ¿qué es la probabilidad?

La probabilidad es el cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar. Vamos a plantear un par de ejemplos, porque la probabilidad -como tantos conceptos en matemáticas, es una construcción abstracta, pero con ejemplos se entiende mejor.

Si giras la ruleta, ¿en qué números se puede parar? La ruleta se puede parar en un número del uno al cinco. Hemos construido, sin darnos cuenta, lo que se llama un experimento (girar una ruleta) y el espacio muestral (los números del uno al cinco). El espacio muestral es un conjunto que tiene por elementos los sucesos que se pueden dar, esto es, los números del uno al cinco. Por nuestras experiencias en el mundo de los juegos ya sabemos más cosas del experimento anterior. Es posible que la ruleta se pare en uno de esos números y es imposible que salga un ocho, por ejemplo. ¡Sabemos un montón de probabilidad y no nos dábamos cuenta! Vamos a plantear otro experimento, en otro contexto distinto:

Viendo este estacionamiento, si sale un auto de los que están aparcados, ¿de qué color podría ser?

Las posibilidades están muy claras, del estacionamiento podría salir un auto rojo o un auto amarillo. Es imposible que salga un auto verde, o una moto azul. Pero, aunque es posible que salga un auto amarillo, hay mucha más probabilidad de que sea rojo, porque hay muchos más autos rojos que amarillos.

La probabilidad se utiliza en muchas áreas como las matemáticas, la estadística, la física, la economía, las ciencias sociales, entre otras. Los primeros estudios de probabilidad se desarrollaron para resolver problemas de juegos y es allí donde más se nota su uso, porque te puede servir para tener más oportunidades de ganar, o para ahorrarnos dinero (al no jugar a juegos en los que es muy probable perder).

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es aquél en el que si lo repetimos con las mismas condiciones iniciales no garantiza los mismos resultados. Así, por ejemplo, al lanzar una moneda no sabemos si saldrá cara o cruz, al lanzar un dado no sabemos qué número aparecerá, la extracción de las bolas de sorteos, loterías, etc. son experiencias que consideramos aleatorias puesto que en ellas no podemos predecir los resultados.

Experimento muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y se suele representar como E (o bien como omega, Ω, del alfabeto griego). Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, ¿cuáles son todos los posibles resultados que podemos obtener? Que salga cara o cruz, ¿verdad? En total son dos posibles resultados, por lo que el espacio muestral tiene 2 elementos. E = {cara, cruz}

Y si lanzamos un dado, tenemos en total 6 posibles resultados que pueden salir. Por lo tanto el espacio muestral sería de 6 elementos. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Eventos o sucesos

Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticos. Los eventos se clasifican de la siguiente forma:

1. Mutuamente excluyentes: aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Ejemplo: cara o escudo.
2. Independientes: Estos no se ven afectados por otros independientes. Ejemplo: el color del zapato y la probabilidad que llueva hoy.
3. Dependientes: cuando un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia de otro. Ejemplo: repaso, calificaciones.
4. No excluyentes entre sí: cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro. Ejemplo: que una persona sea doctor que tenga 56 años, ser estudiante y ya estar casado.

Cuando el enunciado de un problema de la probabilidad tiene como condición que se presente uno u otro evento, la probabilidad total se forma por la suma directa de las

1.- P (AoB)=P(A)+P (B)

En el caso de eventos no excluyentes entre si debe considerarse que la probabilidad de que ocurran ambos eventos está incluida en ellos esa probabilidad de la suma directa (regla general de la suma de probabilidades) P (AoB) =P (A) +P (B)-P (AyB)

Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condición que se presente uno y otro evento, la probabilidad total se forma por la multiplicación directa de las probabilidades individuales si los eventos son independientes.

2.- P (AyB)=P(A)*P (B); si son independientes

Si los eventos son dependientes deben considerarse que ocurra un segundo evento si ya ocurrió un primer evento esto se conoce como: regla general de la multiplicación de probabilidades.

3).P (PyB)=P(A)*P (B\A)

Evento o Suceso seguro

Es aquel suceso que siempre va a ocurrir. Está compuesto por todos los elementos del espacio muestral. Es decir, engloba todos los posibles resultados. Es lo contrario del suceso imposible.

Ejemplo: Supongamos que tenemos un dado con 6 caras. Cada cara tiene un número. El suceso seguro será aquel, que pase lo que pase, siempre ocurra. Así pues, vamos a ver, en este caso, ejemplos de sucesos. Al lado de cada suceso indicaremos si es un suceso seguro o no.

• Que salga un número menor que 7: Es un suceso seguro. Sabemos que saldrá un número entre 1 y 6.
• Que salga un número menor que 10: Se trata de un suceso seguro. De la misma forma, sabemos que el número que ha de salir estará entre 1 y 6.
• Que salga un número menor o igual que 3: No es un suceso seguro. Puede que salga el 4, el 5 o el 6. Por tanto, no podemos asegurar que siempre va a ocurrir.

Evento o Suceso imposible

Es aquel que nunca puede ocurrir. Suele designarse por el símbolo del conjunto vacío. Es lo contrario de suceso seguro.

Ejemplo de suceso imposible: Para ilustrar con más claridad el concepto de suceso imposible, vamos a poner un ejemplo con un dado. El dado tiene 6 caras y es perfecto. Cada cara, cómo es habitual, tiene un número. De manera que, el suceso imposible será aquel que nunca ocurra. A continuación se muestran varios ejemplos de sucesos imposibles:

• Que salga un número mayor que 8: Es un suceso imposible. Si el dado tiene 6 caras con números del 1 al 6, jamás puede salir mayor que 8.
• Que salga un número menor que cero: Un resultado menor que cero es un suceso imposible. Sabemos que siempre va a salir un número entre 1 y 6. Por tanto, no tendremos resultados por debajo de 1.
• Que salga un número mayor o igual que 6: No es un suceso imposible. Puede salir el 6, ya que hemos añadido la condición igual que 6. Por tanto, no podemos asegurar que nunca ocurrirá.

Evento posible o probable

Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia se encuentra entre 0 y 1. Cuanto menos probable sea el suceso, más cerca estará del 0 y cuanto más probable sea, más cerca estará del 1.

Calculemos la probabilidad de obtener un 3 si suponemos que lanzamos un dado 12 veces y obtenemos los siguientes resultados: 3 veces obtuvimos un 1, 1 vez un 2, 1 vez un 3, 2 veces un 4, 3 veces un 5 y 2 veces un 6. Es probable que al lanzar 12 veces un dado, obtengamos como resultado un número 3.

Probabilidad frecuencial

La probabilidad frecuencial o frecuentista hace referencia a la definición de probabilidad entendida como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, cuando el número de casos tiende a infinito. Matemáticamente la probabilidad frecuencial se expresa como: Matemáticamente la probabilidad frecuencial se expresa como:

Dónde: s: es un suceso determinado; N: Número total de sucesos y P(s): Es la probabilidad del suceso s

Intuitivamente esto se lee como el límite de la frecuencia cuando n tiende a infinito. En palabras sencillas, el valor al que tiende la probabilidad de un suceso, cuando repetimos el experimento muchísimas veces. Por ejemplo, una moneda. Si lanzas 100 veces una moneda puede salir 40 veces cara y 60 cruz. Eso sí, este resultado (que podría haber sido cualquier otro) no indica que la probabilidad de cara sea del 40% y la probabilidad de salir cruz del 60%. No. Lo que la probabilidad frecuencial nos indica es que cuando lancemos la moneda infinitas veces la probabilidad debe estabilizarse en 0,5. Siempre y cuando, claro está, la moneda sea perfecta.

Probabilidad de sucesos independientes

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende para nada de que se haya verificado el otro.

Ejemplo: Sacamos una carta de una baraja, la miramos y la introducimos de nuevo en la baraja. Barajamos y sacamos una segunda carta. Los sucesos "sacar la primera carta" y "sacar la segunda carta" son independientes, pues no influye para nada lo que hayamos obtenido en la primera carta.

Ejemplo: Sacamos una carta de una baraja, la miramos y la dejamos fuera de la baraja. Barajamos y sacamos una segunda carta. Los sucesos "sacar la primera carta" y "sacar la segunda carta" son dependientes, ya que la extracción de la primera carta influye en lo que saquemos en la segunda (pues la baraja dispone de una carta menos).

Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Generalmente se utilizan 4 de estos valores también conocidos como estadígrafos, la media aritmética, la mediana, la moda y al rango medio. La medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Media

La media aritmética es la medida de posición utilizada con más frecuencia. Si se tienen n valores de observaciones, la media aritmética es la suma de todos y cada uno de los valores dividida entre el total de valores: Lo que indica que puede ser afectada por los valores extremos, por lo que puede dar una imagen distorsionada de la información de los datos. La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Es el símbolo de la media aritmética.

                         

Ejemplo: Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

                       

Ejemplo de cálculo de la media aritmética: En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

	xi	fi	xi · fi
[10, 20)	15	1	15
[20, 30)	25	8	200
[30,40)	35	10	350
[40, 50)	45	9	405
[50, 60	55	8	440
[60,70)	65	4	260
[70, 80)	75	2	150
		42	1 820

Propiedades de la media aritmética

a)    La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.   

Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

b)   La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

c)    Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.

d)   4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

a)    La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

b)   La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

c)    La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos: 65 kg, 69kg, 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

d)   La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.

e)    La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

	xi	fi
[60, 63)	61.5	5
[63, 66)	64.5	18
[66, 69)	67.5	42
[69, 72)	70.5	27
[72, ∞ )		8
		100

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.

Moda

La Moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende de valores extremos, pero es más variable que la media y la mediana. La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por M_o. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Ejemplo: Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M_o= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M_o= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados

a)    Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

L_i es el límite inferior de la clase modal.

f_i es la frecuencia absoluta de la clase modal.

f_i--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.

f_i-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

a_i es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

Ejemplo: Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	fi
[60, 63)	5
[63, 66)	18
[66, 69)	42
[69, 72)	27
[72, 75)	8
	100

b)   Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Ejemplo: En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

	fi	hi
[0, 5)	15	3
[5, 7)	20	10
[7, 9)	12	6
[9, 10)	3	3
	50

Mediana

La Mediana, es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas. Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por M_e. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1)    Ordenamos los datos de menor a mayor.

2)   Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3)   Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

 Es la semisuma de las frecuencias absolutas.

F_i-1  es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a_i  es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo: Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	fi	Fi
[60, 63)	5	5
[63, 66)	18	23
[66, 69)	42	65
[69, 72)	27	92
[72, 75)	8	100
	100

100 / 2 = 50

Clase modal: [66, 69)

Amplitud o recorrido de la variable

El rango es la medida de dispersión más utilizada en la estadística, veamos su fórmula y algunos ejemplos y ejercicios. El rango es la diferencia entre el valor máximo y mínimo de un conjunto de datos. Es la medida de dispersión o variabilidad más sencilla de calcular y tiene las mismas unidades que los datos. También es llamado amplitud o recorrido. La fórmula del rango es la siguiente:

Rango = valor máximo – valor mínimo

Ejemplo: Dado el conjunto de datos, 1, 3, 5 y 7, encontrar el rango.

Solución: De los datos, 1, 3, 5 y 7, el valor menor es el 1, y el valor mayor es el 7, por lo tanto, aplicamos la fórmula:

Rango = valor máximo – valor mínimo

Rango = 7 – 1

Rango = 6

Ejemplo: Las ganancias de la primera mitad del año pasado de una empresa que vende ositos de peluche en lata, son las siguientes:

	Enero	Febrero	Marzo	Abril	Mayo	Junio
Ganancias	$ 16 800	$ 34 500	$ 17 300	$ 12 500	$ 14 000	$ 18 600

Calcular el rango.

Solución: Rango = valor máximo – valor mínimo

Rango = $ 34 500 – $ 12 500

Rango = $ 22 000

Características del rango

1. Tiene la misma unidad de medida que las observaciones.
2. Se utiliza para tener una idea rápida del grado de dispersión de un conjunto de datos.
3. Es poco confiable.
4. El rango muestral es muy inestable.
5. El valor del rango no varía cuando se suma una constante K a cada observación de un conjunto de datos.
6. El valor del rango si varía cuando se multiplica por constante K a cada observación de un conjunto de datos.

Estadística

"Estadística"; palabra que etimológicamente deriva de la palabra "status", que significa estado o situación. La estadística se ha convertido en una ciencia auxiliar de todas las ciencias –-medicina, ingeniería, sociología, psicología, economía, etc.-–, así como de los gobiernos, mercados y otras actividades humanas. La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

·         Recogida de datos

·         Organización y representación de datos

·         Análisis de datos

·         Obtención de conclusiones

Se designa también con el nombre de estadística a aquella ciencia que ostenta en sus bases una fuerte presencia y acción de las matemáticas y que principalmente se ocupa de la recolección, análisis e interpretación de datos que buscan explicar las condiciones en aquellos fenómenos de tipo aleatorio. A la Estadística se la divide en dos ramas: la estadística descriptiva y la inferencia estadística. La primera se ocupa de los métodos de recolección, visualización, descripción y resumen de los datos que se originan a partir de los fenómenos que se encuentran bajo su lupa. Este tipo de estadística resume los datos que recolecta numérica o gráficamente. Y por otro lado, la inferencia estadística, se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en estudio teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Esta rama de la estadística se usa mayormente para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población que se encuentra bajo estudio. Las inferencias pueden asumir la forma de respuestas a preguntas tipo sí, no, estimaciones numéricas, pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación, modelamiento de relaciones entre variables. Si queremos saber los orígenes de esta ciencia, indefectiblemente tendremos que remontarnos a los orígenes de la civilización. Rocas, palos de madera, pieles y paredes de cueva eran muy utilizadas para hacer representaciones y otros símbolos. Por ejemplo, los babilónicos, aproximadamente, en el año 3.000 A.C. usaban pequeñas tablillas de arcilla para recoger los datos acerca de sus producciones agrícolas o de los géneros que cambiaban o vendían a través del trueque. Obviamente, todo esto, con el paso de los años y de los siglos fue ampliamente superado gracias a la creación de nuevos instrumentos mucho más sofisticados y oportunos a la hora de medir fenómenos y recolectar datos. Hoy, muchas cuestiones y problemas de la vida cotidiana parten del uso de la estadística para lograr una respuesta o una solución, según corresponda.

Variable estadística

La variable estadística es una característica o cualidad de un individuo que está propensa a adquirir diferentes valores. Estos valores, a su vez, se caracterizan por poder medirse. Por ejemplo, el color de pelo, las notas de un examen, el sexo o la estatura de una persona, son variables estadísticas.

Tipos de variables estadística: La variable estadística, de acuerdo con las características que la definen, puede ser cualitativa o cuantitativa. 

Datos estadísticos

Son los valores que se obtienen al llevar a cabo un estudio de tipo estadístico. Se trata del producto de la observación de aquel fenómeno que se pretende analizar. Supongamos que un periodista deportivo desea estudiar el rendimiento de un tenista a partir de los resultados que logró en el último año. En dicho plazo, el jugador disputó 15 encuentros, de los cuales ganó 5 y perdió 10. Los datos estadísticos obtenidos de la observación de los partidos son los siguientes: derrota – derrota – derrota – victoria – derrota – victoria – victoria – derrota – derrota – derrota – derrota- derrota – victoria – derrota – victoria.

Para que resulten útiles, los datos estadísticos deben organizarse y considerarse a partir de un contexto. Retomando el ejemplo anterior, dichos datos serán valiosos si se sabe a qué tenista pertenecen y en qué plazo o periodo fueron obtenidos por el deportista. Es importante tener en cuenta que el procesamiento de los datos estadísticos es lo que genera información. El dato por sí mismo, considerado como algo aislado, carece de interés.

Colectivo, serie estadística, agregado, población o universo

El objeto de estudio de la Estadística son los llamados fenómenos colectivos para los cuales, el comportamiento de una serie de características, está afectado por la casualidad o la aleatoriedad; también se les conoce con el nombre de agregados, poblaciones o universos.

Como COLECTIVO O AGREGADO deben entenderse no solo los colectivos humanos, sino cualquier conjunto de hechos numerosos de la misma naturaleza, cualquiera que ella sea, que presentan ciertas características o modalidades distintivas, cuyo comportamiento generalizado y/o posible relación son objeto de estudio.

Como POBLACION, se define a un conjunto de medidas obtenidas al observar alguna característica de interés en los elementos del colectivo, lo que indica que con un mismo colectivo pueden, en general, estar asociadas varias poblaciones.

Algunos autores definen el concepto de UNIVERSO, como un colectivo teórico, básico para el desarrollo de la Teoría Estadística. Es necesario anotar que casi siempre se utilizan los términos citados como sinónimos, sin que se tenga un consenso aceptado en general, sobre el uso de los mismos.

Característica

Es cualquier propiedad de objetos o personas que deseamos estudiar en Estadística. Propiedades de las unidades o elementos que componen las muestras. Se miden mediante variables. Se asume que los individuos presentan diferentes características.

Frecuencia

En estadística, la frecuencia (o frecuencia absoluta) de un evento es el número de veces en que dicho evento se repite durante un experimento o muestra estadística. Comúnmente, la distribución de la frecuencia suele visualizarse con el uso de histogramas.

Tipos de frecuencias: En estadística se pueden distinguir hasta cuatro tipos de frecuencias: Frecuencia absoluta, Frecuencia relativa, f i = n i N = n i ∑ i n i {\displaystyle f_{i}={\frac {n_{i}}{N}}={\frac {n_{i}}{\sum _{i}n_{i}}}} Frecuencia absoluta acumulada y Frecuencia relativa acumulada. Ejemplos de frecuencias:

Supongamos que las calificaciones de un estudiante de secundaria fueran las siguientes:

18, 13, 12, 14, 11, 08, 12, 15, 05, 20, 18, 14, 15, 11, 10, 10, 11, 13. Entonces:

• La frecuencia absoluta de 11 es 3, pues 11 aparece 3 veces.
• La frecuencia relativa de 11 es 0.16, porque corresponde a la división 3/18 (3 de las veces que aparece de las 18 notas que aparecen en total).
• La frecuencia absoluta acumulada para el valor 11 es 7, porque hay 7 valores menores o iguales a 11.
• La frecuencia relativa acumulada para el valor 11 es 0.38, porque corresponde a la división 7/18 (frecuencia absoluta acumulada dividida entre el número total de muestras).

Porcentaje

El porcentaje es una forma de representar una fracción en la que un total está dividido en cien partes. Por ejemplo, decir que un objeto contiene 30% de grasa, significa que si lo dividiéramos en 100 partes, 30 de ellas serían grasa. El símbolo % equivale en matemática al facto 0,01 es decir que 1 % es igual 0,01.

Una fracción es una relación entre dos cantidades. El porcentaje permite comparar cantidades distintas con respecto a un total. Para averiguar el porcentaje del total (Y)  que representa una cantidad X, debemos dividir X por Y, y luego multiplicarlo por 100. Por ejemplo, si el total de un alimento es 40 gramos y contiene 15 gramos de grasa:

• 15 / 40 x 100 = 37.5 %. Es decir, el alimento contiene 37,5 % de grasa.

Para averiguar qué cantidad real representa un porcentaje P de un total Y, se debe multiplicarse P por el total Y, y luego dividirlo por 100.

Ejemplos de porcentajes

1. Una fracción de 1/1 es 100 %
2. Una fracción de 9/10 es 90 %
3. Una fracción de 4/5 es 80 %
4. Una fracción de ¾ es 75 %
5. Una fracción de 7/10 es 70 %
6. Una fracción de 3/5 es 60 %

Distribución de frecuencias

Las distribuciones de frecuencias son tablas en que se dispone las modalidades de la variable por filas. En las columnas se dispone el número de ocurrencias por cada valor, porcentajes, etc. La finalidad de las agrupaciones en frecuencias es facilitar la obtención de la información que contienen los datos. La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Las distribuciones o tablas de frecuencias permiten resumir los datos en una tabla que recoge:

• Valores de la variable o modalidades del atributo,

• Frecuencia absoluta o número de veces que aparece cada valor o modalidad en la muestra,

• Porcentaje de veces que aparece cada valor de la variable o modalidad del atributo sobre el total de observaciones,

• Porcentaje válido calculado sobre el total de observaciones excluidos los valores missing,

• Porcentaje acumulado hasta cada uno de los valores de la variable ordenados de menor a mayor. Este porcentaje tiene interpretación sólo en los casos en que la variable sea susceptible de medida por lo menos en una escala ordinal.

Ejemplo: La siguiente tabla indica que los valores 1 y 3 se repiten 12 veces, el valor 5 se repite 3 veces, etc….

\(x_i\)	\(n_i\)
1	12
3	12
5	3
6	45
8	72

Este es también el formato con que suele representarse también una variable cualitativa o categórica, como por ejemplo la distribución del color del cabello de veinte personas:

Color del pelo	Número de personas
Rubio	2
Moreno	6
Castaño	5
Verde	7

 

Intervalos de clase

Es un conjunto de elementos que forman a una clase, conteniendo un límite inferior y un límite superior. Tamaño de clase. Es la diferencia entre dos límites inferiores o superiores de clases sucesivas. Los intervalos de clase se emplean si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Límites de la clase

Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Ejemplo: Construcción de una tabla con Intervalos de clase

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1º se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.

2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos de queramos poner. Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15. En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

	ci	fi	Fi	ni	Ni
[0, 5)	2.5	1	1	0.025	0.025
[5, 10)	7.5	1	2	0.025	0.050
[10, 15)	12.5	3	5	0.075	0.125
[15, 20)	17.5	3	8	0.075	0.200
[20, 25)	22.5	3	11	0.075	0.2775
[25, 30)	27.5	6	17	0.150	0.425
[30, 35)	32.5	7	24	0.175	0.600
[35, 40)	37.5	10	34	0.250	0.850
[40, 45)	42.5	4	38	0.100	0.950
[45, 50)	47.5	2	40	0.050	1
		40		1

 

Tablas estadísticas

Llamamos tabla estadística a la disposición de forma ordenada y agrupada de los valores y frecuencias de una distribución. Distinguiremos entre tablas estadísticas de distribuciones no agrupadas y tablas de distribuciones agrupadas.

Tablas de distribuciones no agrupadas: En las tablas de distribuciones no agrupadas aparecen las siguientes columnas: la primera contiene los valores de la distribución, ordenados de menor a mayor si son caracteres cuantitativos; la segunda contiene las frecuencias absolutas, la tercera las frecuencias relativas. Cuando las frecuencias acumuladas se pueden definir se añaden otras dos columnas, una para las frecuencias absolutas acumuladas y otra para las relativas acumuladas.

Ejemplo: TABLA ESTADÍSTICA DE LA ACTIVIDAD 1ª, TOMANDO COMO POBLACIÓN TODA LA CLASE:

xi	ni	Ni	fi	Fi
0	2	2	0,04	0,04
1	3	5	0,06	0,10
2	6	11	0,12	0,22
3	6	17	0,12	0,34
4	3	20	0,06	0,40
5	5	25	0,10	0,50
6	5	30	0,10	0,60
7	8	38	0,16	0,76
8	6	44	0,12	0,88
9	4	48	0,08	0,96
10	2	50	0,04	1

 Una vez construida la tabla es muy fácil responder a las tres primeras preguntas:
¿Cuántos alumnos han sacado un tres? La respuesta es n3 que vale 6.
¿Cuántos alumnos han suspendido? La respuesta es N4 que vale 20.
¿Cuántos alumnos han aprobado? La respuesta es 50-N4 que vale 50-20 = 30.

Diagramas

Un diagrama es un diseño geométrico, cuya función es representar gráficamente procedimientos, procesos, ideas, soluciones, mecanismos o fenómenos, de tal modo que el "lector" pueda comprender de manera clara y rápida una información, y comprender también cómo actuar o qué esperar ante determinadas situaciones. Un diagrama es una figura, con una forma geométrica, que permite presentar una proposición, resolver un problema o establecer relaciones entre las partes de un todo.

Por tanto, no es más que un dibujo que permite una visión general de un problema o información de forma rápida y sencilla. Es muy utilizado en ciencia (incluida la economía), educación o comunicación. Esta palabra proviene del griego, en concreto de la combinación del prefijo «die» (a través) con el verbo «graphein» (escribir) y el sufijo «ma» (resultado de una acción).

Tipos de gráficos

Los trabajos de investigación necesitan distintos tipos de gráficas para poder presentar los datos estudiados. En este tipo de trabajos se utilizan un conjunto de datos que necesitan relacionarse entre sí y muchas veces resulta imposible hacerlo de manera escrita. Es así que se utilizan distintos tipos de gráficas que permiten una observación más amplia del tema. Los datos que se obtienen con los gráficos indican la moda, la frecuencia, la dispersión o la media de los datos obtenidos.

La finalidad de los gráficos es facilitar el análisis y comprensión tanto de los investigadores como de las personas que estudien la investigación. Según lo que se quiera mostrar se pueden utilizar diferentes tipos de gráficas. Por eso es importante conocer todos los tipos que hay para saber cuál es la más conveniente.

1.     Gráfico de barras: El más conocido y utilizado de todos los tipos de gráficos es el gráfico o diagrama de barras. En éste, se presentan los datos en forma de barras contenidas en dos ejes cartesianos (coordenada y abscisa) que indican los diferentes valores. El aspecto visual que nos indica los datos es la longitud de dichas barras, no siendo importante su grosor. Generalmente se emplea para representar la frecuencia de diferentes condiciones o variables discretas (por ejemplo la frecuencia de los diferentes colores del iris en una muestra determinada, que solo pueden ser unos valores concretos). Únicamente se observa una variable en las abscisas, y las frecuencias en las coordenadas. El grafico de barras, por su sencillez en la realización y por su utilidad tanto en variable discreta como para caracteres cualitativos, el diagrama de barras es el gráfico más utilizado en estadística. Para construir un diagrama de barras, situamos en el eje horizontal los valores de la variable discreta o los distintos atributos del carácter. Posteriormente en el eje vertical se van levantando barras de alturas igual o proporcional a las frecuencias absolutas. Así de simple y así de fácil. Uniendo los puntos medios de la parte superior de las barras se obtiene otra figura muy usada en estadística que es conocida como polígono de frecuencias.

 

2.    Gráfico circular o por sectores: El también muy habitual gráfico en forma de “quesito”, en este caso la representación de los datos se lleva a cabo mediante la división de un círculo en tantas partes como valores de la variable investigada y teniendo cada parte un tamaño proporcional a su frecuencia dentro del total de los datos. Cada sector va a representar un valor de la variable con la que se trabaja. Este tipo de gráfico o diagrama es habitual cuando se está mostrando la proporción de casos dentro del total, utilizando para representarlo valores percentuales (el porcentaje de cada valor).

3. Histograma: Aunque a simple vista muy semejante al gráfico de barras, el histograma es uno de los tipos de gráfica que a nivel estadístico resulta más importante y fiable. En esta ocasión, también se utilizan barras para indicar a través de ejes cartesianos la frecuencia de determinados valores, pero en vez de limitarse a establecer la frecuencia de un valor concreto de la variable evaluada refleja todo un intervalo. Se observa pues un rango de valores, que además podrían llegar a reflejar intervalos de diferentes longitudes. Ello permite observar no solo la frecuencia sino también la dispersión de un continuo de valores, lo que a su vez puede ayudar a inferir la probabilidad. Generalmente se utiliza ante variables continuas, como el tiempo.

4. Gráfico de líneas: En este tipo de gráfico se emplean líneas para delimitar el valor de una variable dependiente respecto a otra independiente. También puede usarse para comparar los valores de una misma variable o de diferentes investigaciones utilizando el mismo gráfico (usando diferentes líneas). Es usual que se emplee para observar la evolución de una variable a través del tiempo. Un ejemplo claro de este tipo de gráficos son los polígonos de frecuencias. Su funcionamiento es prácticamente idéntico al de los histogramas aunque utilizando puntos en vez de barras, con la excepción de que permite establecer la pendiente entre dos de dichos puntos y la comparación entre diferentes variables relacionadas con la independiente o entre los resultados de distintos experimentos con las mismas variables, como por ejemplo las medidas de una investigación respecto a los efectos de un tratamiento, observando los datos de una variable pre tratamiento y pos tratamiento.

5. Gráfico de dispersión: El gráfico de dispersión o gráfico xy es un tipo de gráfico en el cual mediante los ejes cartesianos se representa en forma de puntos todos los datos obtenidos mediante la observación. Los ejes x e y muestran cada uno los valores de una variable dependiente y otra independiente o dos variables de la que se esté observando si presentan algún tipo de relación. Los puntos representados el valor reflejado en cada observación, lo que a nivel visual dejará ver una nube de puntos a través de los cuales podemos observar el nivel de dispersión de los datos. Se puede observar si existe o no una relación entre las variables mediante el cálculo. Es el procedimiento que se suele usar, por ejemplo, para establecer la existencia de rectas de regresión lineal que permita determinar si hay relación entre variables e incluso el tipo de relación existente.

6. Gráfico de caja y bigotes: Los gráficos de caja son uno de los tipos de gráficas que tienden a utilizarse de cara a observar la dispersión de los datos y cómo éstos agrupan sus valores. Se parte del cálculo de los cuartiles, los cuales son los valores que permiten dividir los datos en cuatro partes iguales. Así, podemos encontrar un total de tres cuartiles (el segundo de los cuales se corresponderían con la mediana de los datos) que van a configurar la “caja “ en cuestión. Los llamados bigotes serían la representación gráfica de los valores extremos. Este gráfico es útil a la hora de evaluar intervalos, así como de observar el nivel de dispersión de los datos a partir de los valores de los cuartiles y los valores extremos.

   

7. Gráfico de áreas: En este tipo de gráfico se observa, de manera semejante lo que ocurre con los gráficos de líneas, la relación entre variable dependiente e independiente. Inicialmente se hace una línea que une los puntos que marcan los diferentes valores de la variable medida, pero también se incluye todo lo situado por debajo: este tipo de gráfica nos permite ver la acumulación (un punto determinado incluye a los situados por debajo). A través de él se pueden medir y comparar los valores de diferentes muestras (por ejemplo, comparar los resultados obtenidos por dos personas, compañías, países, por dos registros de un mismo valor….). Los diferentes resultados pueden apilarse, observándose fácilmente las diferencias entre las diversas muestras.

9. Pictograma: Se entiende por pictograma a un gráfico en el que, en vez de representar los datos a partir de elementos abstractos como barras o círculos, se emplean elementos propios del tema que se está investigando. De este modo se hace más visual. Sin embargo, su funcionamiento es semejante al del gráfico de barras, representando frecuencias de la misma manera

 

10. Cartograma: Este gráfico resulta de utilidad en el terreno de la epidemiología, indicando las zonas o áreas geográficas en las que aparece con mayor o menor frecuencia un determinado valor de una variable. Las frecuencias o rangos de frecuencias se indican mediante el uso del color (requiriéndose una leyenda para comprenderse) o el tamaño.

11. Histograma de frecuencia: Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, teniendo en cuenta que la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. Un histograma nos permite ver cómo se distribuyen los valores de la variable en estudio. Usamos los histogramas cuando analizamos variables continuas, o cuando trabajamos con variables discretas que toman un gran número de valores y son agrupadas en intervalos. Cuando tenemos variables cualitativas, se emplean los diagramas de barras.

¿Cómo construir un histograma?

Partimos de una tabla de frecuencias con datos agrupados, y seguimos los siguientes pasos:

·         En el eje horizontal (X), colocamos los límites de clase. Opcionalmente, puedes colocar las marcas de clase.

·         En el eje vertical (Y), colocamos las frecuencias. Se suele tomar la frecuencia absoluta, pero también se puede trabajar con la frecuencia relativa o con la frecuencia porcentual.

·         Dibujamos las barras de cada clase, teniendo en cuenta que la altura de cada barra es igual a la frecuencia.

Ejemplo: Se registran los tiempos de las llamadas recibidas en un call center, y se obtiene la siguiente tabla de frecuencias con datos agrupados. Construir un histograma de frecuencias.

Solución:

Recuerda que si vas a trabajar con una variable cualitativa o variable discreta que asume pocos valores, deberás usar un diagrama de barras y no un histograma.

Polígono de frecuencia

Es un gráfico que se forma uniendo los puntos medios de la parte superior de las barras mediante segmentos de recta. El polígono de frecuencias es de mucha utilidad cuando se representa más de una serie en una misma gráfica. Los polígonos de frecuencias se trazan tomando en cuenta las marcas de clase de cada barra.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD # 2

Realiza un trabajo escrito tipo revista con la información y gráficos. Entre los criterios de evaluación se encuentran:

PRESENTACIÓN: incluye pulcritud, portada creativa, organización del material, enumeración de las páginas, uso de color, editorial y directorio, índice de contenidos, contraportada. Valor 2 puntos (0,25 cada ítems)

ACTIVIDAD DE LA TEMÁTICA: se encuentra desglosado por preguntas asignadas y debes copiarlas junto con la pregunta. valor 18 puntos.

Orden de la temática por secciones:

1.     Portada:

2.    Editorial y directorio: debes incluir tus datos personales y los de la institución.

3.    Índice de contenidos: debes incluir todos los contenidos y sus respectivos números de páginas.

4.    Desarrollo de los contenidos dados con un título creativo diferente para cada uno. Ejemplo: si te indico: define probabilidad y da un ejemplo, el titulo pudiera ser “es probable que…” o “probablemente…” y desarrollas el contenido con su respectivo ejemplo. Un máximo de 2 páginas por artículo.

5.    Publicidad: anuncios publicitarios, pueden ser recortes de otras revistas o los elaboras con información publicitaria de negocios de la localidad. (máximo 2 paginas). Valor 0,5 punto.

6.    Pasatiempos o entretenimiento: puede incluir horóscopo, crucigrama o sopa de letras relacionados con términos matemáticos, encuentra las diferencias, laberintos, sudokus o los de tu preferencia. (máximo 2 paginas) Valor 0,5 punto.

7.    Contraportada.

Contenidos a desarrollar en la revista:

1.     Define: probabilidad y da un ejemplo. Valor 1 punto (0,5 definición y 0,5 ejemplo)

2.    Define los siguientes términos y da un ejemplo de la vida diaria donde se pueda apreciar cada uno de ellos con base a los ejemplos dados: Valor 4 puntos (0,25 cada definición y 0,25 cada ejemplo)

Experimento aleatorio                                                       Experimento muestral                                .

Eventos.                                                                               Evento seguro.

Evento imposible.                                                                Evento probable.

Probabilidad frecuencial.                                                  Probabilidad de sucesos independientes.

3.    Define las siguientes medidas de tendencia central y ejemplifica cada una en el entorno cotidiano: Valor 2 puntos (0,25 cada definición y 0,25 cada ejemplo)

Media.            Moda.             Mediana.        Amplitud o recorrido de la variable

4.    Define los siguientes términos de estadística y ejemplifica cada uno de ellos: Valor 6 puntos (0,25 cada definición y 0,25 cada ejemplo)

Estadística                                       Variable estadística                        Datos estadísticos

Colectivo o serie estadística         Característica                                  Frecuencia

Porcentaje                                        Distribución de frecuencias.         Intervalos de clase.

Marca de clase.                               Tablas estadísticas.                        Diagramas.

5.    Define y ejemplifica en base a la segunda cepa de la Pandemia COVID-19 y las informaciones a las que tienes acceso, bien sea por internet, televisión, radio, periódico o teléfono, aplicando cuatro de los diferentes tipos de gráficos explicados en la guía a tu elección: valor 4 puntos (0,25 cada definición y 0,75 cada gráfico y su interpretación)